Durch eine Matrix \(A\) mit
\[
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\] kann eine lineare Abbildung erzeugt werden. Die Vorschrift \( A\cdot \vec{x}=\vec{y}\) stellt eine solche lineare Abbildung dar. Möglicherweise werden durch diese Abbildung einige Vektoren \(\vec{x}\) auf Vielfache von sich selbst abgebildet. Es gilt also
\[ A \cdot \vec{x}=\lambda \cdot \vec{x}, \] wobei \( \lambda \) dann den Vervielfachungsfaktor angibt. Alle vom Nullvektor verschiedenen Vektoren \( \vec{x} \) für die \( A \cdot \vec{x}=\lambda \cdot \vec{x} \) gilt, heißen Eigenvektoren der Matrix \( A \).
Ein konkretes Beispiel: Die Matrix \( A \) mit \( A=\begin{pmatrix}
-3 & -3 \\
4 & 5
\end{pmatrix} \) erzeugt eine lineare Abbildung nach der Vorschrift \( A \cdot \vec{x}=\vec{y}\). So wird beispielsweise der Vektor \( \vec{x_1}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \) auf \[ \begin{pmatrix}
-3 & -3 \\
4 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3-3 \\ -4+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \vec{y}\] abgebildet. Ganz offensichtlich ist der Vektor \(
\vec{x_1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}
\) kein Eigenvektor der Matrix \( A \), da es keinen Wert \( \lambda \) gibt für den gilt: \[
\vec{x_1}=
\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} =
\lambda
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=
\lambda
\vec{y}
\]
Der Vektor \(
\vec{x_2} =
\begin{pmatrix} 3 \\ -2
\end{pmatrix}
\) hingegen wird abgebildet auf \[
\begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 4 & 5
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} 3\\-2 \end{pmatrix} =
3 \cdot
\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}
-2 \cdot
\begin{pmatrix} -3\\5 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -9+6\\12-10 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} -3\\2 \end{pmatrix}
=\vec{y}
\]
Es ist leicht zu erkennen, dass gilt \(
\vec{x_2}
=\begin{pmatrix} 3\\-2 \end{pmatrix}
=-\begin{pmatrix} -3\\2 \end{pmatrix}
=-\vec{y}
\) oder \[
A\cdot\vec{x_2} =-1 \cdot \vec{x_2}
\]
Offensichtlich ist der Vektor \(
\vec{x_2}
=\begin{pmatrix} 3\\-2 \end{pmatrix}
\) ein Eigenvektor der Matrix \(A\).
Die verlinkte Graphik verdeutlicht das zuvor erklärte. (GeoGebra – Dynamisches Arbeitsblatt in neuem Fenster öffnen.)
Erläuterung zur Graphik:
Der Vektor \(\vec{x_1}\) wird durch die Matrix \(A\) auf den Vektor \(\vec{y_1}\) abgebildet (orange dargestellt).
Der Vektor \(\vec{x_2}\) wird durch die Matrix \(A\) auf den Vektor \(\vec{y_2}\) abgebildet (blau dargestellt).
Der Vektor \(\vec{x_2}\) ist ein Eigenvektor von Matrix \(A\), weil er auf einer Geraden mit seinem Bildvektor \(\vec{y_2}\) liegt. Dies gilt für die Vektoren \(\vec{x_1}\) und \(\vec{y_1}\) nicht. Somit ist Vektor \(\vec{x_1}\) kein Eigenvektor von Matrix \(A\).