Eigenwerte und Eigenvektoren

Durch eine Matrix \(A\) mit
\[
A=\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}
\end{pmatrix}
\] kann eine lineare Abbildung erzeugt werden. Die Vorschrift \( A\cdot \vec{x}=\vec{y}\) stellt eine solche lineare Abbildung dar. Möglicherweise werden durch diese Abbildung einige Vektoren \(\vec{x}\) auf Vielfache von sich selbst abgebildet. Es gilt also
\[ A \cdot \vec{x}=\lambda \cdot \vec{x}, \] wobei \( \lambda \) dann den Vervielfachungsfaktor angibt. Alle vom Nullvektor verschiedenen Vektoren \( \vec{x} \) für die \( A \cdot \vec{x}=\lambda \cdot \vec{x} \)  gilt, heißen Eigenvektoren der Matrix \( A \).

Ein konkretes Beispiel: Die Matrix \( A \) mit \( A=\begin{pmatrix}
-3 & -3 \\
4 & 5
\end{pmatrix} \) erzeugt eine lineare Abbildung nach der Vorschrift \( A \cdot \vec{x}=\vec{y}\). So wird beispielsweise der Vektor \( \vec{x_1}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} \) auf \[ \begin{pmatrix}
-3 & -3 \\
4 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 3-3 \\ -4+5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\ 1 \end{pmatrix} = \vec{y}\] abgebildet. Ganz offensichtlich ist der Vektor \(
\vec{x_1} = \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix}
\) kein Eigenvektor der Matrix \( A \), da es keinen Wert \( \lambda \) gibt für den gilt: \[
\vec{x_1}=
\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \end{pmatrix} =
\lambda
\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=
\lambda
\vec{y}
\]

Der Vektor \(
\vec{x_2} =
\begin{pmatrix} 3 \\ -2
\end{pmatrix}
\) hingegen wird abgebildet auf \[
\begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 4 & 5
\end{pmatrix}
\cdot
\begin{pmatrix} 3\\-2 \end{pmatrix} =
3 \cdot
\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}
-2 \cdot
\begin{pmatrix} -3\\5 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} -9+6\\12-10 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} -3\\2 \end{pmatrix}
=\vec{y}
\]

Es ist leicht zu erkennen, dass gilt \(
\vec{x_2}
=\begin{pmatrix} 3\\-2 \end{pmatrix}
=-\begin{pmatrix} -3\\2 \end{pmatrix}
=-\vec{y}
\) oder \[
A\cdot\vec{x_2} =-1 \cdot \vec{x_2}
\]

Offensichtlich ist der Vektor \(
\vec{x_2}
=\begin{pmatrix} 3\\-2 \end{pmatrix}
\) ein Eigenvektor der Matrix \(A\).

Die verlinkte Graphik verdeutlicht das zuvor erklärte. (GeoGebra – Dynamisches Arbeitsblatt in neuem Fenster öffnen.)

Erläuterung zur Graphik:

Der Vektor \(\vec{x_1}\) wird durch die Matrix \(A\) auf den Vektor \(\vec{y_1}\) abgebildet (orange dargestellt).

Der Vektor \(\vec{x_2}\) wird durch die Matrix \(A\) auf den Vektor \(\vec{y_2}\) abgebildet (blau dargestellt).

Der Vektor \(\vec{x_2}\) ist ein Eigenvektor von Matrix \(A\), weil er auf einer Geraden mit seinem Bildvektor \(\vec{y_2}\) liegt. Dies gilt für die Vektoren \(\vec{x_1}\) und \(\vec{y_1}\) nicht. Somit ist Vektor \(\vec{x_1}\) kein Eigenvektor von Matrix \(A\).

Unter “Was sind Eigenvektoren” wurde für die Matrix \[ A= \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \] gezeigt, dass einer ihrer Eigenvektoren \( \vec{x_1}=\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix} \) ist. Es wurde dort nämlich nachgewiesen, dass \[ A \cdot \vec{x_1}= \begin{pmatrix} -3 & -3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -3 \\ 2\end{pmatrix}= -1 \cdot \vec{x_1}= \lambda \cdot \vec{x_1} \] gilt. Zusammengefasst ist dies gleichbedeutend mit: \( A \cdot \vec{x_1}= -1 \cdot \vec{x_1} \) mit \( \lambda = -1 \). Eben dieser Wert \( \lambda \) wird als Eigenvektor der Matrix \(A\) bezeichnet. Geometrisch kann der Eigenwert als der Wert aufgefasst werden, mit dem der zugehörige Eigenvektor durch die Abbildung über die Matrix \( A\) vervielfacht wird. Diese Vervielfach ist nichts anderes als eine skalare Multiplikation.
Was ist ein Eigenvektor?
Dieses Video zeigt die geometrische Bedeutung eines Eigenvektors.
Video ansehen
Eigenwerte einer Matrix
Dieses Video zeigt die exemplarische Berechnung von Eigenwerten.
Video ansehen
Teil I - Wie wird aus einem Eigenwert ein Eigenvektor?
In diesem Video wird zu einem Eigenwert der entsprechende Eigenvektor berechnet.
Video ansehen
Teil II - Wie wird aus einem Eigenwert ein Eigenvektor?
In diesem Video wird zu einem Eigenwert der entsprechende Eigenvektor berechnet.
Video ansehen
Was sagt der Eigenwert aus?
In diesem Video wird erklärt, welche geometrische Bedeutung der Eigenwert einer Matrix hat.
Video ansehen
Previous
Next