Tangente an eine Funktion

In der Sekundarstufe I wurde das Thema lineare Funktionen behandelt. Dort haben Sie erfahren, dass jede lineare Funktion in der Form \(y=f(x)=m \cdot x+n\) geschrieben werden kann. Da eine Tangente stets eine lineare Funktion darstellt, wird sich dies nun nicht ändern. Wir halten also fest, eine Tangente \(t\) hat die Gestalt \(t:y=m_t \cdot x+n\). Aus dem Wert \(m\) wurde lediglich \(m_t\), um zu signalisieren, dass es sich um den Anstieg einer besonderen linearen Funktion handelt, nämlich der Tangente.

Als wir uns mit mittleren und lokalen Änderungsraten beschäftigt haben, ist uns der Begriff der Tangenete bereits begegnet. Wir haben festgestellt, dass die lokale Änderungsrate einer Funktion \(f\) an einer Stelle \(x_0\) dem Anstieg der entsprechenden Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an dieser Stelle entspricht. Diese Erkenntnis machen wir uns nun zu Nutze. Wir betrachten dafür ein konkretes Beispiel: Zu berechnen sei die Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{1}{4} \cdot x^2(x-3)(x+3)\) an der Stelle \(x_0=1\).

Im ersten Schritt benötigen wir die erste Ableitung der Funktion \(f\), da mit dieser die lokale Änderungsrate an einer Stelle \(x_0\) berechnet werden kann. Möglicherweise ist es zunächst sinnvoll die Funktion \(f\) zu vereinfachen, um die erste Ableitung leichter bestimmen zu können.

Schritt 1: Ableitung der Funktion \(f\) bestimmen. (ggf. zuvor die Funktion \(f\) vereinfachen)
\[f(x)=\frac{1}{4} \cdot x^2(x-3)(x+3) \\
f(x)=\frac{1}{4} \cdot x^2(x^2-9)\\
f(x)=\frac{1}{4} \cdot (x^4 -9x^2)\\
f'(x)=\frac{1}{4} \cdot (4x^3 -18x)\\
f'(x)=\frac{1}{2}x \cdot (2x^2-9)\]

Im zweiten Schritt wird nun die erste Ableitung der Funktion dafür verwendet, um die lokale Änderungsrate des Graphen der Funktion \(f\) an der Stelle \(x_0\) zu berechnen. Dafür wird der Wert \(x_0\) lediglich in die erste Ableitung eingesetzt. Der entstehende Funktionswert der ersten Ableitung entspricht dann dem Anstieg \(m_t\) der gesuchten Tangente \(t\).
Schritt 2: Berechnung des Anstieges \(m_t\) der Tangente \(t\). \[m_t=f'(1)=\frac{1}{2} \cdot 1 \cdot (2 \cdot 1^2 -9) \\ m_t=\frac{1}{2} \cdot (-7) =- \frac{7}{2} \]
Es entsteht ein erstes Zwischenergebnis, in der Tangentengleichung \(t:y=m_t \cdot x + n\) kann nun \(m_t\) durch den zuvor berechneten Wert ersetzt werden. Es entsteht die Gleichung \(t:y=- \frac{7}{2} x +n\). Diese Gleichung hängt nun nur noch vom Parameter \(n\) ab. Graphisch handelt es sich um parallele Geraden wie nebenstehende Abbildung zeigt. Gefunden werden muss nun die Gerade, die den Graphen der Funktion \(f\) im Punkt \(P(1|f(1))\) berührt.
Um die Gerade zu finden, die durch den Tangentialpunkt \(P\) verläuft, benötigen wir die Koordinaten dieses Punktes. Es gilt stets \(P(x_0|f(x_0)\). In betrachteten Beispiel also \(P(1|f(1))\).

Schritt 3: Berechnung der Koordinaten des Tangentialpunktes.

\[
P(x_0|f(x_0)\\
f(1)=\frac{1}{4} \cdot 1^2 \cdot (-2) \cdot 4=-2\\
P(1|-2)
\]

Nun setzen wir den gefundenen Punkt in die Tangentengleichung ein. Es entsteht eine Gleichung, die als einzige Unbekannte \(n\) enthält.

Schritt 4: Einsetzen von \(m_t\) sowie des Tangentialpunktes in die Tangentengleichungen.  \[ y=m_t \cdot x + n \\ -2=-\frac{7}{2} \cdot 1+n \\ \]

Die entstandene Gleichung wird nach \(n\) umgestellt. 

Schritt 5: Parameterwert \(n\) bestimmen. \[ -2=-\frac{7}{2} \cdot 1 +n \\ n= -2 + \frac{7}{2} \\ n= \frac{3}{2} \]

Abschließend ist die Tangentengleichung anzugeben.

Schritt 6: Tangentengleichung angeben \[ t:y=-\frac{7}{2}x+\frac{3}{2} \]