In der Sekundarstufe I wurde das Thema lineare Funktionen behandelt. Dort haben Sie erfahren, dass jede lineare Funktion in der Form \(y=f(x)=m \cdot x+n\) geschrieben werden kann. Da eine Tangente stets eine lineare Funktion darstellt, wird sich dies nun nicht ändern. Wir halten also fest, eine Tangente \(t\) hat die Gestalt \(t:y=m_t \cdot x+n\). Aus dem Wert \(m\) wurde lediglich \(m_t\), um zu signalisieren, dass es sich um den Anstieg einer besonderen linearen Funktion handelt, nämlich der Tangente.
Als wir uns mit mittleren und lokalen Änderungsraten beschäftigt haben, ist uns der Begriff der Tangenete bereits begegnet. Wir haben festgestellt, dass die lokale Änderungsrate einer Funktion \(f\) an einer Stelle \(x_0\) dem Anstieg der entsprechenden Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) an dieser Stelle entspricht. Diese Erkenntnis machen wir uns nun zu Nutze. Wir betrachten dafür ein konkretes Beispiel: Zu berechnen sei die Tangente an den Graphen der Funktion \(f\) mit \(f(x)=\frac{1}{4} \cdot x^2(x-3)(x+3)\) an der Stelle \(x_0=1\).
Schritt 1: Ableitung der Funktion \(f\) bestimmen. (ggf. zuvor die Funktion \(f\) vereinfachen)
\[f(x)=\frac{1}{4} \cdot x^2(x-3)(x+3) \\
f(x)=\frac{1}{4} \cdot x^2(x^2-9)\\
f(x)=\frac{1}{4} \cdot (x^4 -9x^2)\\
f'(x)=\frac{1}{4} \cdot (4x^3 -18x)\\
f'(x)=\frac{1}{2}x \cdot (2x^2-9)\]
Schritt 3: Berechnung der Koordinaten des Tangentialpunktes.
\[
P(x_0|f(x_0)\\
f(1)=\frac{1}{4} \cdot 1^2 \cdot (-2) \cdot 4=-2\\
P(1|-2)
\]
Nun setzen wir den gefundenen Punkt in die Tangentengleichung ein. Es entsteht eine Gleichung, die als einzige Unbekannte \(n\) enthält.
Die entstandene Gleichung wird nach \(n\) umgestellt.
Abschließend ist die Tangentengleichung anzugeben.