Wichtige Informationen zu quadratischen Gleichungen, die Sie wissen sollten:
- Eine Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) mit \(a,~b,~c \in \mathbb{R}\) und \(a \neq 0\) heißt allgemeine quadratische Gleichung. Dabei heißt \(ax^2\) das quadratische Glied mit dem Leitkoeffizienten \(a\), \(bx\) das lineare Glied und \(c\) absolutes Glied der Gleichung.
- Durch Umformung kann jede allgemeine quadratische Gleichung in die Form \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0\) überführt werden. Substituiert man dabei \(\frac{b}{a}\) und \(\frac{c}{a}\) durch \(p=\frac{b}{a}\) und \(q= \frac{c}{a}\), so erhält man die Normalform der quadratischen Gleichung \(x^2 +px+q=0\).
- Alle Lösungen der Normalform der quadratischen Gleichung mit \(D=\mathbb{R}\) erhalten wir über die Formel \(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2 -q}\) (Umgangssprachlich als p-q-Formel bezeichnet). Der Term \(\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2 -q\) wird als Diskriminate bezeichnet.
- Eine quadratische Gleichung hat stets entweder keine, genau eine oder genau zwei Lösungen.
- Es existiert keine Lösung, wenn die Diskriminante negativ ist.
- Es existiert genau eine Lösung, wenn die Diskriminante den Wert Null annimmt.
- Es existieren genau zwei Lösungen, wenn die Diskriminante positiv ist.
- Wenn \(x_1\) und \(x_2\) Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform sind, dann gilt gemäß Satz von Vieta \(p=-(x_1+x_2)\) und \(q=x_1\cdot x_2\).
- Eine Gleichung der Form \(ax^2 +c=0\) wird als reinquadratische Gleichung bezeichnet und ist eine Sonderform der allgemeinen quadratischen Gleichung. Sie ist ohne “Formel” lösbar, da die Gleichung unmittelbar nach \(x\) aufgelöst werden kann.
- Eine Gleichung der Form \(ax^2 +bx=0\) wird als gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied bezeichnet. Sie kann stets durch Umformung und anschließender Anwendung des Satzes vom Nullprodukt gelöst werden.
SATZ VOM NULLPRODUKT: EIN PRODUKT \(a \cdot b\) WIRD GENAU DANN NULL; WENN MINDESTENS EINER DER BEIDEN FAKTOREN \(a\) ODER \(b\) NULL WIRD. \((a \cdot b =0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0)\)
Es gilt somit: \(ax^2 +bx=0
\Leftrightarrow ax\cdot\Bigl(x+\frac{b}{a}\Bigr)=0
\Leftrightarrow ax=0 \lor x+\frac{b}{a}=0
\Rightarrow x_1=0 \lor x_2=-\frac{b}{a}
\) - Eine allgemeine quadratische Gleichung mit den Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) lässt sich in Linearfaktoren zerlegen. Damit gilt der Zusammenhang: \(ax^2 +bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)\)
- Eine Gleichung der Form \(ax^4 +bx^2 +c=0\) heißt biquadratsiche Gleichung und kann durch die Substitution \(z=x^2\) gelöst werden. Nach dieser Substitution entsteht eine allgemeine quadratische Gleichung der Form \(az^2+bz+c=0\), die mit oben benannten Lösungsverfahren gelöst werden kann. Die Anschließende Resubstitution bringt die Lösungen der biquadratischen Gleichung.
Allgemein gilt: Jede Gleichung der Form \(a\cdot x^n + b \cdot x^\frac{n}{2}+c=0 \) kann durch die Substitution \(z=x^\frac{n}{2}\) in eine allgemeine quadratische Gleichung überführt werden, die mit den obigen Lösungsverfahren gelöst werden kann. Resubstitution führt dann zu den Lösungen der Ausgangslgeichung.