Quadratische Gleichungen

Wichtige Informationen zu quadratischen Gleichungen, die Sie wissen sollten:

  1. Eine Gleichung der Form \(ax^2 + bx + c = 0\) mit \(a,~b,~c \in \mathbb{R}\) und \(a \neq 0\) heißt allgemeine quadratische Gleichung. Dabei heißt \(ax^2\) das quadratische Glied mit dem Leitkoeffizienten \(a\), \(bx\) das lineare Glied und \(c\) absolutes Glied der Gleichung. 
  2. Durch Umformung kann jede allgemeine quadratische Gleichung in die Form \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}=0\) überführt werden. Substituiert man dabei \(\frac{b}{a}\) und \(\frac{c}{a}\) durch \(p=\frac{b}{a}\) und \(q= \frac{c}{a}\), so erhält man die Normalform der quadratischen Gleichung \(x^2 +px+q=0\).
  3. Alle Lösungen der Normalform der quadratischen Gleichung mit \(D=\mathbb{R}\) erhalten wir über die Formel \(x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2 -q}\) (Umgangssprachlich als p-q-Formel bezeichnet). Der Term \(\Bigl(\frac{p}{2}\Bigr)^2 -q\) wird als Diskriminate bezeichnet.
  4. Eine quadratische Gleichung hat stets entweder keine, genau eine oder genau zwei Lösungen.
    • Es existiert keine Lösung, wenn die Diskriminante negativ ist.
    • Es existiert genau eine Lösung, wenn die Diskriminante den Wert Null annimmt. 
    • Es existieren genau zwei Lösungen, wenn die Diskriminante positiv ist.
  5. Wenn \(x_1\) und \(x_2\) Lösungen einer quadratischen Gleichung in Normalform sind, dann gilt gemäß Satz von Vieta \(p=-(x_1+x_2)\) und \(q=x_1\cdot x_2\).
  6. Eine Gleichung der Form \(ax^2 +c=0\) wird als reinquadratische Gleichung bezeichnet und ist eine Sonderform der allgemeinen quadratischen Gleichung. Sie ist ohne “Formel” lösbar, da die Gleichung unmittelbar nach \(x\) aufgelöst werden kann. 
  7. Eine Gleichung der Form \(ax^2 +bx=0\) wird als gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied bezeichnet. Sie kann stets durch Umformung und anschließender Anwendung des Satzes vom Nullprodukt gelöst werden.

    SATZ VOM NULLPRODUKT: EIN PRODUKT \(a \cdot b\) WIRD GENAU DANN NULL; WENN MINDESTENS EINER DER BEIDEN FAKTOREN \(a\) ODER \(b\) NULL WIRD. \((a \cdot b =0 \Leftrightarrow a=0 \lor b=0)\) 

    Es gilt somit: \(ax^2 +bx=0
    \Leftrightarrow ax\cdot\Bigl(x+\frac{b}{a}\Bigr)=0
    \Leftrightarrow ax=0 \lor x+\frac{b}{a}=0
    \Rightarrow x_1=0 \lor x_2=-\frac{b}{a}
    \)

  8. Eine allgemeine quadratische Gleichung mit den Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) lässt sich in Linearfaktoren zerlegen. Damit gilt der Zusammenhang: \(ax^2 +bx+c=a\cdot(x-x_1)\cdot(x-x_2)\) 
  9. Eine Gleichung der Form \(ax^4 +bx^2 +c=0\) heißt biquadratsiche Gleichung und kann durch die Substitution \(z=x^2\) gelöst werden. Nach dieser Substitution entsteht eine allgemeine quadratische Gleichung der Form \(az^2+bz+c=0\), die mit oben benannten Lösungsverfahren gelöst werden kann. Die Anschließende Resubstitution bringt die Lösungen der biquadratischen Gleichung.
    Allgemein gilt: Jede Gleichung der Form \(a\cdot x^n + b \cdot x^\frac{n}{2}+c=0 \) kann durch die Substitution \(z=x^\frac{n}{2}\) in eine allgemeine quadratische Gleichung überführt werden, die mit den obigen Lösungsverfahren gelöst werden kann. Resubstitution führt dann zu den Lösungen der Ausgangslgeichung.