Wichtige Informationen zu Polynomgleichungen dritten Grades, die Sie wissen sollten:
- Eine Polynomgleichung n-ten Grades kann in allgemeiner Form als \(
a_nx^x
\pm
a_{n-1}x^{n-1}
\pm
\cdots
\pm
a_2x^2
\pm
a_1x
\pm
a_0
=
\sum_{i=0}^{n}
a_ix^i
=
0
\) mit \(a_n \neq 0\) und \(n\in\mathbb{N}\)
geschrieben werden, wobei man unter dem Grad n die höchste Potenz der Variable x versteht. Für ein Polynom vom Grad drei gilt also \(n=3\). - Eine Polynomgleichung vom Grad n kann maximal n Lösungen aus dem Bereich der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) besitzen. Ist n
- eine gerade Zahl, so kann es in \(\mathbb{R}\) auch keine Lösungen geben.
- eine ungerade Zahl, so gibt es in \(\mathbb{R}\) mindestens eine Lösung.
- Polynome vom Grad 3 werden auch kubische Polynome genannt. Auch für diese Gleichungen existiert eine Lösungsformel (Cardanische Formel). Aufgrund ihrer Komplexität wird sie allerdings i.d.R. nicht verwendet.
- Polynomgleichungen vom Grad 3 oder höher werden i.d.R. über Polynomdivision so zerlegt, dass die Polynomgleichung als Produkt aus Polynomen vom Grad 1 oder 2 dargestellt wird. Die Lösungen der Ausgangsgleichung lassen sich dann mit der p-q-Formel oder anderen bekannten Lösungsverfahren bestimmen.
- Um eine Polynomdivision durchführen zu können, muss eine Lösung \(x_0\) der Polynomgleichung bekannt sein.
Hinweis: Existiert eine Lösung \(x_0\) im Bereich der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\), so ist \(x_0\) stets in der Menge \(
\Biggl\{
x
\Bigg \vert
x=\pm \frac{Teiler~von~a_0}{Teiler~von~a_n}
\Biggr\}
\) enthalten. - Der Ansatz für die Polynomdivision eines Polynoms dritten Grades mit einer ersten Lösungen \(x_0\) lautet:
\(
\bigl(
a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0
\bigr):
\bigl(
x-x_0
\bigr)
\).
Hinweis: Dieser Ansatz basiert aus der Linearfaktorzerlegung eines Polynoms vom Grad 3. Aus Satz 2 ist bekannt, dass die Gleichung \(a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0 =0 \) mindestens eine Lösung besitzt. Somit gilt die Gleichung \(a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0 =
\bigl(
b_2x^2 \pm b_1x \pm b
\bigr)\cdot
\bigl(
x-x_0
\bigr)
\), woraus sich sofort der Ansatz für die Polynomdivision ergibt:
\(a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0 =
\bigl(
b_2x^2 \pm b_1x \pm b
\bigr)\cdot
\bigl(
x-x_0
\bigr)\)
\(
\Leftrightarrow
\bigl(a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0\bigr):
\bigl(x-x_0\bigr)=\underbrace{b_2x^2 \pm b_1x \pm b}_{p(x)}
\)
Alle weiteren Lösungen der Gleichung (falls diese in \(\mathbb{R}\) existieren), lassen sich dann über die Gleichung \(p(x)=0\) berechnen.