Polynomgleichungen dritten Grades

Wichtige Informationen zu Polynomgleichungen dritten Grades, die Sie wissen sollten:

1. Eine Polynomgleichung n-ten Grades kann in allgemeiner Form als \(
   a_nx^x
   \pm
   a_{n-1}x^{n-1}
   \pm
   \cdots
   \pm
   a_2x^2
   \pm
   a_1x
   \pm
   a_0
   =
   \sum_{i=0}^{n}
   a_ix^i
   =
   0
   \) mit \(a_n \neq 0\) und \(n\in\mathbb{N}\)
   geschrieben werden, wobei man unter dem Grad n die höchste Potenz der Variable x versteht. Für ein Polynom vom Grad drei gilt also \(n=3\).
2. Eine Polynomgleichung vom Grad n kann maximal n Lösungen aus dem Bereich der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) besitzen. Ist n
   • eine gerade Zahl, so kann es in \(\mathbb{R}\) auch keine Lösungen geben.
   • eine ungerade Zahl, so gibt es in \(\mathbb{R}\) mindestens eine Lösung.
3. Polynome vom Grad 3 werden auch kubische Polynome genannt. Auch für diese Gleichungen existiert eine Lösungsformel (Cardanische Formel). Aufgrund ihrer Komplexität wird sie allerdings i.d.R. nicht verwendet. 
4. Polynomgleichungen vom Grad 3 oder höher werden i.d.R. über Polynomdivision so zerlegt, dass die Polynomgleichung als Produkt aus Polynomen vom Grad 1 oder 2 dargestellt wird. Die Lösungen der Ausgangsgleichung lassen sich dann mit der p-q-Formel oder anderen bekannten Lösungsverfahren bestimmen.
5. Um eine Polynomdivision durchführen zu können, muss eine Lösung \(x_0\) der Polynomgleichung bekannt sein. 
   Hinweis: Existiert eine Lösung \(x_0\) im Bereich der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\), so ist \(x_0\) stets in der Menge \(
   \Biggl\{
   x
   \Bigg \vert
   x=\pm \frac{Teiler~von~a_0}{Teiler~von~a_n}
   \Biggr\}
   \) enthalten.
6. Der Ansatz für die Polynomdivision eines Polynoms dritten Grades mit einer ersten Lösungen \(x_0\) lautet:
   \(
   \bigl(
   a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0
   \bigr):
   \bigl(
   x-x_0
   \bigr)
   \).
   Hinweis: Dieser Ansatz basiert aus der Linearfaktorzerlegung eines Polynoms vom Grad 3. Aus Satz 2 ist bekannt, dass die Gleichung \(a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0 =0 \) mindestens eine Lösung besitzt. Somit gilt die Gleichung \(a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0 =
   \bigl(
   b_2x^2 \pm b_1x \pm b
   \bigr)\cdot
   \bigl(
   x-x_0
   \bigr)
   \), woraus sich sofort der Ansatz für die Polynomdivision ergibt:
   \(a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0 =
   \bigl(
   b_2x^2 \pm b_1x \pm b
   \bigr)\cdot
   \bigl(
   x-x_0
   \bigr)\)
   \(
   \Leftrightarrow
   \bigl(a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0\bigr):
   \bigl(x-x_0\bigr)=\underbrace{b_2x^2 \pm b_1x \pm b}_{p(x)}
   \)
   Alle weiteren Lösungen der Gleichung (falls diese in \(\mathbb{R}\) existieren), lassen sich dann über die Gleichung \(p(x)=0\) berechnen.