Polynomgleichungen dritten Grades

Wichtige Informationen zu Polynomgleichungen dritten Grades, die Sie wissen sollten:

  1. Eine Polynomgleichung n-ten Grades kann in allgemeiner Form als \(
    a_nx^x
    \pm
    a_{n-1}x^{n-1}
    \pm
    \cdots
    \pm
    a_2x^2
    \pm
    a_1x
    \pm
    a_0
    =
    \sum_{i=0}^{n}
    a_ix^i
    =
    0
    \) mit \(a_n \neq 0\) und \(n\in\mathbb{N}\)
    geschrieben werden, wobei man unter dem Grad n die höchste Potenz der Variable x versteht. Für ein Polynom vom Grad drei gilt also \(n=3\).
  2. Eine Polynomgleichung vom Grad n kann maximal n Lösungen aus dem Bereich der reellen Zahlen \(\mathbb{R}\) besitzen. Ist n
    • eine gerade Zahl, so kann es in \(\mathbb{R}\) auch keine Lösungen geben.
    • eine ungerade Zahl, so gibt es in \(\mathbb{R}\) mindestens eine Lösung.
  3. Polynome vom Grad 3 werden auch kubische Polynome genannt. Auch für diese Gleichungen existiert eine Lösungsformel (Cardanische Formel). Aufgrund ihrer Komplexität wird sie allerdings i.d.R. nicht verwendet. 
  4. Polynomgleichungen vom Grad 3 oder höher werden i.d.R. über Polynomdivision so zerlegt, dass die Polynomgleichung als Produkt aus Polynomen vom Grad 1 oder 2 dargestellt wird. Die Lösungen der Ausgangsgleichung lassen sich dann mit der p-q-Formel oder anderen bekannten Lösungsverfahren bestimmen.
  5. Um eine Polynomdivision durchführen zu können, muss eine Lösung \(x_0\) der Polynomgleichung bekannt sein. 
    Hinweis: Existiert eine Lösung \(x_0\) im Bereich der rationalen Zahlen \(\mathbb{Q}\), so ist \(x_0\) stets in der Menge \(
    \Biggl\{
    x
    \Bigg \vert
    x=\pm \frac{Teiler~von~a_0}{Teiler~von~a_n}
    \Biggr\}
    \) enthalten.
  6. Der Ansatz für die Polynomdivision eines Polynoms dritten Grades mit einer ersten Lösungen \(x_0\) lautet:
    \(
    \bigl(
    a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0
    \bigr):
    \bigl(
    x-x_0
    \bigr)
    \).
    Hinweis: Dieser Ansatz basiert aus der Linearfaktorzerlegung eines Polynoms vom Grad 3. Aus Satz 2 ist bekannt, dass die Gleichung \(a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0 =0 \) mindestens eine Lösung besitzt. Somit gilt die Gleichung \(a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0 =
    \bigl(
    b_2x^2 \pm b_1x \pm b
    \bigr)\cdot
    \bigl(
    x-x_0
    \bigr)
    \), woraus sich sofort der Ansatz für die Polynomdivision ergibt:
    \(a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0 =
    \bigl(
    b_2x^2 \pm b_1x \pm b
    \bigr)\cdot
    \bigl(
    x-x_0
    \bigr)\)
    \(
    \Leftrightarrow
    \bigl(a_3x^3 \pm a_2x^2 \pm a_1x \pm a_0\bigr):
    \bigl(x-x_0\bigr)=\underbrace{b_2x^2 \pm b_1x \pm b}_{p(x)}
    \)
    Alle weiteren Lösungen der Gleichung (falls diese in \(\mathbb{R}\) existieren), lassen sich dann über die Gleichung \(p(x)=0\) berechnen.