Polynomdivision

Berechnen Sie alle Lösungen der Gleichung \(~2x^3 -x^2 -27x+36=0\) und geben Sie die Linearfaktorzerlegung des Terms \(~2x^3 -x^2 -27x+36\) an. Lösung:
    • Teiler von \(a_0\) = Teiler von 36 = \( \{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}\)
    • Teiler von \(a_3\)=Teiler von 2 = \(\{1,2\}\)
    • Menge möglicher Lösungen: \(x_0 \in \biggl\{ \pm \frac{1}{2}, \pm 1, \pm \frac{3}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm \frac{9}{2}, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36 \biggr\}\)
    • Durch systematisches Probieren lässt sich beispielsweise die Lösung \(x_0=-4\) finden.
    • Polynomdivision:

\( ~~~~~~(2x^3 -x^2-27x+36):(x+4)=2x^2-9x+9\\ ~-(2x^3+8x^2)\\ —————-\\ ~~~~~~~~~~~~~~-9x^2-27x\\ ~~~~~~~~~-(-9x^2-36x)\\ ~~~~~~~~~——————–\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~9x+36\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-(9x+36)\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~—————\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~0 \)

    • Im nächsten Schritt wird der Quotient der Division Null gesetzt. Es ist also die Gleichung \(2x^2-9x+9=0\) zu lösen.

\( \begin{align} 2x^2-9x+9 &= 0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\bigg\vert \cdot \frac{1}{2}\\ x^2-\frac{9}{2}x+\frac{9}{2} &= 0 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\bigg\vert p=-\frac{9}{2} \land q=\frac{9}{2}\\ x_{1,2} &= \frac{9}{4} \pm \sqrt{\frac{81}{16}-\frac{9}{2}} \\ x_{1,2} &= \frac{9}{4} \pm \sqrt{\frac{9}{16}} \\ x_1 &= \frac{9}{4} – \frac{3}{4}=\frac{3}{2} \\ x_2 &= \frac{9}{4} + \frac{3}{4}=3 \end{align} \)

    • Es wurden alle Lösungen bestimmt. Diese lauten: \(~x_0=-4,~x_1=\frac{3}{2},~x_2=3\)
    • Es ergibt sich folgende Linearfaktorzerlegung:

\(2x^3 -x^2 -27x+36=2(x+4)(x-\frac{3}{2})(x-3)\)