Monotonie

Ein Synonym für Monotonie ist Eintönigkeit bzw. Gleichförmigkeit. In der Mathematik verstehen wir darunter nichts anderes. Eine Funktion heißt monoton, falls Ihr Graph stets in ein und die selbe Richtung verläuft. Ein und die selbe Richtung meint hier, dass der Graph entweder fällt oder steigt. Mathematisch korrekt sagen wir dann, dass der Graph monoton fällt bzw. monoton steigt.  

In der nebenstehenden Abbildung ist ein Ausschnitt des Graphen \(G_f\) einer ganzrationalen Funktion \(f\) dargestellt. Dabei verläuft der Graph \(G_f\) in allen blau hinterlegten Intervallen monoton fallend und in allen rot hinterlegten Intervallen monoton steigend. 

In der nebenstehenden Abbildung ist nun zusätzlich der Graph der ersten Ableitung \(G_{f’}\) dargestellt (grün gestrichelt). Man erkennt, dass der Graph \(G_{f’}\) in allen blau hinterlegten Intervallen unterhalb der x-Achse verläuft und in allen rot hinterlegten Intervallen oberhalb der x-Achse. Die Nullstellen \(x_1,~x_2, \dots, x_5\) der ersten Ableitungen liegen also genau dort, wo sich das Monotonieverhalten des Graphen \(G_f\) ändert. Dies erscheint auch sehr nachvollziehbar, gibt die erste Ableitung \(f'(x_0)\) doch die Steigung \(m\) des Graphen \(G_f\) an einer Stelle \(x_0\) an.

Wir haben gezeigt, dass sich das Monotonieverhalten mit Hilfe der Nullstellen der ersten Ableitung der zu untersuchenden Funktion beurteilen lässt. Der Vollständigkeit halber sei an dieser Stelle erwähnt, dass dies im allgemeinen lediglich für stetige Funktionen gilt. Schrittfolge zur Bestimmung des Monotonieverhaltens einer ganzrationalen Funktion \(f\):
  1. Bilde die erste Ableitung \(f’\) der zu untersuchenden Funktion \(f\).
  2. Bestimme die Nullstellen \(x_1,~x_2, \dots, x_n\) der zuvor bestimmten ersten Ableitung.
  3. Bilde folgende Monotonieintervalle aus den zuvor bestimmten Nullstellen: \[ I_1=]-\infty,x_1[ \\ I_2=]x_1,x_2[ \\ I_3=]x_1,x_3[ \\ \vdots \\ I_n=]x_n,\infty[\]
  4. Überprüfe für jedes dieser Intervalle, ob die Funktionswerte der ersten Ableitung im Intervall positiv oder negativ sind. (Hinweis: Es kann ein beliebiger Wert aus dem jeweiligen Intervall verwendet werden. Denn gilt für einen Wert \(a \in I_n\) das \(f'(a)<0\) ist, so verläuft der Graph der ersten Ableitung für alle Werte aus dem Intervall \(I_n\) unterhalb der x-Achse. Simultan gilt: Wenn für einen Wert \(a \in I_n\) gilt, dass \(f'(a)>0\) ist, so verläuft der Graph der ersten Ableitung für alle Werte aus dem Intervall \(I_n\) oberhalb der x-Achse.)
  5. Gebe für jedes im Punkt 3 bestimmte Intervall an, ob der Graph \(G_f\) in diesem Intervall monoton fallend oder monoton steigend verläuft.
Das Monotonieverhalten einer Funktion \(f\) lässt sich besonders gut mir der folgenden Vorzeichentabelle bestimmen.
Intervall \(I_1\)Intervall \(I_2\)Intervall \(I_3\)Intervall \(I_n\)
\(]-\infty,x_1[\)\(]x_1,x_2[\)\(]x_2,x_3[\)\( \dots\)\(]x_n,\infty[\)
\(f'(a)\) mit
\(a \in I_k\)
\(+\) oder \(-\)\(+\) oder \(-\)\(+\) oder \(-\)\( \dots\)\(+\) oder \(-\)
Folgerungfallend
oder
steigend
fallend
oder
steigend
fallend
oder
steigend
\( \dots\)fallend
oder
steigend